BARISAN DAN DERET GEOMETRI LENGKAP

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

• BARISAN GEOMETRI
  
  U₁, U₂, U₃, ……., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = …. = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , …….ar^n-1

 
U₁, U₂, U₃,……,U_n

Suku ke n U_n = ar^n-1

 

® fungsi eksponen (dalam n)

Misal: 3, 6, 12, 24, 48, ……………..

a1 = 3 = a

a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2

a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3

an = arn-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

n 1

n a =ar – dimana:

an = suku ke- n (Sn)

a = suku pertama

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku

Deret Geometri (Deret Ukur)

• DERET GEOMETRI

a + ar² + ……. + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1

= a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2.  Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
   U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
   U_n < U_n-1
   
   Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan U_n = S_n – S_n-1
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
   _______      __________
   Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + …………………………
¥
å Un = a + ar + ar² …………………….
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga S_¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …….……….

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar² +ar⁴+ …….                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ……                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r