LINGKARAN

Lingkaran

 

Elemen-elemen suatu lingkaran.

Dalam geometri aqualid, sebuah lingkaran adalah himpunan semuatiik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari krva ertutup adalah , membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Elemen lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :

• Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
   merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

• Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
   merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busur (TB)
   merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.
3. Busur (B)
   merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
   merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
   merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
   merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

• Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
   merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
   merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3. Cakram (C)
   merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

dengan R adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.

Jika pusat lingkaran terdapat di , maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk

dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat 

lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu Persamaan parametrik, yaitu

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dalam koordinat polar, yaitu

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam dan jari-jari luar .

Penjumlahan elemen juring

 

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

 

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R1 dan jari-jari luar R2, yaitu

di mana untuk R1=0 rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

di mana digunakan

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.