BAB I
LOGIKA MATEMATIKA
A.
DASAR-DASAR
LOGIKA
Kalimat Pernyataan
Kalimat pernyataan (Proposisi) adalah kalimat yang
menyatakan sesuatu yang mempunyai satu dari dua kemungkinan nilai kebenaran
yaitu benar atau salah..
Berikut ini adalah beberapa contoh Proposisi :
a.
Mari kita menjaga kebersihan
b.
4 adalah bilangan prima (salah)
c.
Jakarta adalah ibukota negara Indonesia
d.
Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta (salah)
Perhatikan, kalimat-kalimat (b),(c),dan (d) menerangkan atau menyatakan
sesuatu. Kalimat-kalimat tersebut mempunyai nilai benar saja atau salah saja,
tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Kalimat yang demikian disebut
pernyataan atau proposisi. Pernyataan c bernilai benar karena kenyataannya
memang demikian. Pernyataan b bernilai salah. Adapun pernyataan b dapat
ditentukan nilai kebenaranny sesuai dengan faktanya. Perhatikan bahwa kalimat a
tidak menyatakan sesuatu. Oleh karena itu, kalimat tersebut bukan pernyataan.
Benar atau salahnya suatu pernyataan disebut nilai kebenaran dari pernyataan
tersebut. Suatu pernyataan yang nilai kebenarannya ditentukan oleh fakta atau
data empiris, misalnya berdasarkan hasil observasi, disebut pernyataan empiris.
Adapun pernyataan yang nilai kebenarannya dapat diterima secara langsung oleh
akal pikiran, misalnya berdasarkan definisi atau fakta-fakta dalam matematika,
disebut pernyataan absolut (mutlak).
Kalimat terbuka
kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat suatu variabel (peubah) yang
jika diganti dengan suatu nilai atau konstanta dari himpunan semestanya, maka akan
menjadi pernyataan.
Variabel (peubah) adalah lambang yang belum mempunyai nilai tertentu yang
menunjuk anggota tertentu dari himpunan semestanya. Adapun pengganti peubah
pada suatu kalimat terbuka yang menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan
yang bernilai benar disebut penyelesaian. Himpunan semua penyelesaian kalimat
terbuka disebut himpunan penyelesaian.
perhatikan kalimat-kalimat berikut.
a.
P + 3 = 7
b.
Candi borobudur terletak di provinsi X.
Kalimat-kalimat tersebut belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya karena masih memuat lambang yang belum mempunyai nilai tertentu
sehingga disebut kalimat terbuka. Notasi (lambang) yang belum mempunyai nilai
tertentu tersebut dinamakan variabel (peubah).
Pada kalimat (a), jika p diganti bilangan 4, maka akan
diperoleh pernyataan “4+3=7” yang bernilai benar. Adapaun jika p diganti selain
bilangan 4, misalnya 5, maka akan menghasilkan pernyataan “5+3=7” yang bernilai
salah. Dalam hal ini, bilangan 4 disebut penyelesaian kalimat terbuka tersebut,
sedangkan bilangan 5 bukan penyelesaian. Adapun pada kalimat (b), jika X
diganti Jawa Tengah, maka akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar,
yaitu ” Candi Borobudur terletak di Provinsi Jawa Tengah “. Dalam hal ini, Jawa
Tengah adalah penyelesaian kalimat terbuka tersebut.
NEGASI (INGKARAN) → ~
Negasi merupakan pernyataan yang menyangkal atau mengingkari sesuatu.
Dengan kata lain, suatu pernyataan dengan negasi yang mempunyai nilai kebenaran
yang berlawanan.
Negasi pernyatan p adalah –p
atau ~p.
Tabel 1.1:
P
|
~P
|
~(~p)
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
Contoh: Tuliskan negasi dari pernyataan berikut!
a. 2
bilangan prima. b. Ayu
lulus ujian.
Penyelesaian:
a.
Misalkan p: 2 bilangan prima
Maka ~p: 2 bukan bilangan prima.
b.
Misalkan q: ayu lulus ujian
Maka ~q: ayu tidak lulus ujian.
B.
PENGHUBUNG KALIMAT DALAM
LOGIKA
Pada logika matematika waktu SMA kita mengenal yang
namanya penghubung kalimat dan, atau, jika...maka..., ...jika dan hanya
jika.... Dalam Logika Informatika juga tidak jauh beda dengan logika
matematika. Kalimat penghubung tersebut yang nantinya akan mengkombinasikan
antara proposisi- proposisi lain yang kemudian membentuk proposisi yang baru. Dari
kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk, sedangkan proposisi yang
bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut dengan
proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi
atomik.
Logika hanya berhubungan dengan bentuk-bentuk logika
dari argumen-argumen serta penarikan kesimpulan tentang validasi argumen tersebut.
Logika tidak mempermasalahkan arti sebenarnya dari pernyataan tersebut, ataupun
isi dari pernyataan tersebut.
contoh
:
-
Binatang
mempunyai dua telinga
-
Manusia mempunyai dua telinga
Maka, dapat
di ambil kesimpulan bahwa manusia sama dengan binatang
sperti yang sudah kami katakan di atas, bahwa dalam
logika terdapat 5 perangkai logika. 5 tersebut adalah sebagai berikut :
Simbol
|
Arti
|
¬
|
negasi
|
∧
|
konjungsi/dan
|
∨
|
Disjungsi/atau
|
→
|
jika...maka...
|
↔
|
jika dan hanya jika
|
Contoh:
Jika hari
hujan, maka Badu basah kuyub (p→q)
Badu menangkap bola dan menendangnya (p∧q)
1.
Konjungsi /
dan
Dalam logika matematika maupun Informatika penghubung konjungsi/
dan digunakan symbol ( ∧ ).
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung tersebut.
contoh :
P= andi seorang pelajar.
Q=andi seorang pemain sepak bola.
P= andi seorang pelajar.
Q=andi seorang pemain sepak bola.
Jika di rangkai dengan menggunakan penghubung logika
konjungsi / dan maka bentuknya akan
menjadi seperti ini P∧Q ( andi seorang
pelajar dan pemain sepak bola).
Tabel 1.2:
pP
|
qQ
|
P∧Q
|
bB
|
bB
|
B
|
bB
|
sS
|
S
|
sS
|
bB
|
S
|
sS
|
sS
|
S
|
dari tabel di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa penghubung logika
menggunakan konjungsi / dan bernilai
B(benar) pada saat P dan Q semuanya bernilai B(benar). Jadi kalau ada satu
pernyataan yang bernilai S(salah) maka akan dinyatakan bernilai S (salah).
2.
Disjungsi/atau
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan
"atau" dengan simbol ( ∨ ). kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 makna :
· Inklusif yaitu jika "p benar atau q benar
atau kedunya benar”
contoh :
p = 7 adalah bilangan prima
q= 7 adalah bilangan ganjil
p V q = 7 adalah bilangan prima atau ganjil
benar bahwa 7 dapat dikatan bilangan ganjil maupun bilangan prima
contoh :
p = 7 adalah bilangan prima
q= 7 adalah bilangan ganjil
p V q = 7 adalah bilangan prima atau ganjil
benar bahwa 7 dapat dikatan bilangan ganjil maupun bilangan prima
·Ekslusif yaitu jika “ p benar atau q benar tetapi
tidak keduanya ”
contoh :
p = saya melihat pertandingan bola di TV
q = saya melihat pertandingan bola di stadiun
contoh :
p = saya melihat pertandingan bola di TV
q = saya melihat pertandingan bola di stadiun
p V q = saya melihat pertandingan
bola di tv atau di stadiun.
hanya salah satu dari dua kalimat penyusunnya yang boleh
bernilai benar yaitu jika “saya melihat pertandingan bola di TV saja atau di
stadiun saja tetapi tidak keduanya.
Tabel 1.3:
P
|
Q
|
P∨Q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
dari tabel kebenaran di atas kita dapat menarik
kesimpulan, tabel kebenaran disjungsi tersebut bernilai salah ketika keduanya bernilai
salah, sedangkan bernilai benar ketika salah satunya terdapat nilai benar.
3.
Negasi dari Disjungsi dan Konjungsi
Pada pembahasan
sebelumnya kita telah mengetahui bahwa negasi dari suatu pernyataan adalah
pernyataan baru yang nilai kebenarannya yang selalu berlawanan dengan nilai
kebenaran pernyataan semula. Dengan
demikian, negasi dari pernyataan majemuk “p V q” adalah suatu pernyataan
majemuk baru yang diperoleh dari “ p V q “ sedemikian sehingga bernilai benar
jika “ p V q” bernilai salah, dan sebaliknya. Begitupun negasi dari “ p ˄ q “
adalah pernyataan majemuk yang baru yang diperoleh dari “ p ˄ q “ sedemikian
sehingga bernilai benar jika “ p ˄ q “ salah, dan sebaliknya.
Tabel 1.4:
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p V q
|
~p ˄ ~q
|
p ˄ q
|
~p V ~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
4.
Implikasi/
Jika . . .maka. . .
Implikasi adalah dua pernyataan
p dan q, ditulis p q dan dibaca “ jika p, maka q”, bernilai salah
hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.
cara mengeksprresikan p → q :
yang pertama adalah Jika p maka q, contoh : jika hari ini hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
yang pertama adalah Jika p maka q, contoh : jika hari ini hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
yang kedua adalah Jika p, q, contoh :
jika tekanan gas diperbesar , mobil melaju kencang. yang ketiga adalah p
mengakibatkan q (p implies q), contoh : es kutub mencair
mengakibatkan permukaan air laut naik.
yang keempat adalah q jika p, contoh : orang tua itu berangkat jika
ia di beri uang saku untuk jalan.
Tabel 1.5 :
Tabel 1.5 :
pP
|
qQ
|
P→Q
|
bB
|
bB
|
B
|
bB
|
sS
|
S
|
sS
|
bB
|
B
|
sS
|
sS
|
B
|
dari tabel kebenaran di atas dapat diambil kesimpulan bahwa, kita katakan p
adalah antiseden sedangkan q adalah konsekuen. Kita lihat dari tabel tersebut
implikasi bernilai benar jika antiseden bernilai salah (S) yaitu pada baris ke
3 dan ke 4 dan pada saat konsekuen bernilai benar (B), yaitu pada baris ke 1
dan ke 2.
Contoh:
a. 2x bilangan
genap jika x bilangan genap.
b. X bilangan
genap berimplikasi 2x bilangan genap.
Maka, pada
implikasi tersebut, “x bilangan genap” merupakan syarat cukup 2x merupakan
bilangan genap. Adapun 2x bilangan genap merupakan syarat perlu supaya x
merupakan bilangan genap. Namun, 2x bilangan genap bukan syarat cukup supaya x
merupakan bilangan genap sebab mungkin saja 2x bilangan genap, tetapi x
merupakan bilangan ganjil.
5.
Biimplikasi
/ ... jika dan hanya jika ....
Biimplikasi atau bikondisional
adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan
dalam notasi "p ↔ q" yang bernilai sama dengan "(p → q)∧(q → p)",
sehingga dapat dibaca "p jika dan hanya jika q". Biimplikasi dua
pernyataan hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan sederhana penyusunnya mempunyai nilai
kebenaran yang sama dan bernilai salah jika kedua pernyataan penyusunnya
mempunyai nilai kebenaran yang berbeda
contoh :
p : dua garis yang saling
berpotongan adalah tegak lurus.
q : dua garis yang saling membentuk
sudut 90°
p ↔ q : dua garis yang saling berpotongan adalah tegak
lurus jika dan hanya jika dua garis saling membentuk
sudut 90°.
Tabel 1.6 :
p
|
q
|
p↔q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
kita dapat menyimpulakan bahwa tabel kebenaran bernilai benar jika kedua pernyataan tersebut bernilai benar (B) atau jika kedua pernyataan bernilai salah (S).
6.
Negasi dari Implikasi dan
Biimplikasi
Negasi dari pernyataan p →
q adalah pernyataan majemuk baru yang nilai kebenarannya berlawanan dengan p →
q. Apabila Ali duduk dan ternyata Tuti tidak pergi, maka hal itu bertentangan
dengan pernyataan “ Jika Ali duduk maka Tuti pergi”. Dengan demikian, dapat
disimpulkan bahwa negasi dari pernyataan p → q adalah p ˄ ~q. agar lebih yakin,
coba perhatikan tabel dibawah ini.
Tabel 1.7:
P
|
q
|
~p
|
~q
|
p → q
|
~p →~ q
|
p ↔ q
|
~p↔~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
C.
TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI LOGIKA
1. TAUTOLOGI
Tautologi adalah
pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat
pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan
Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan
tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut
Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan
dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh
tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:
1. (p ʌ ~q) p
Pembahasan:
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi
dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar (B). Maka dengan
perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
2. KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu
suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau
sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai
kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu
pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama
dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai S atau
salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan
penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum
Ekuivalensi Logika.
Contoh dari Kontradiksi:
1. (P ʌ ~P)
Pembahasan:
p
|
~p
|
(p ʌ
~p)
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa
pernyataan majemuk (p ʌ ~p) selalu salah.
2. P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
p ʌ (~p ʌ q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan
kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (S).
BAB II
KESIMPULAN
1. Disjungsi/
atau: p V q bernilai benar jika ada diantara p dan q yang benar, dalam hal lainnya
p V q bernila salah.
2. Konjunsi/dan:
p ˄ q bernilai salah jika diantara p dan q yang salah dalam hal lainnya p ˄ q
bernilai benar.
3. Implikasi:
p → q bernilai salah jika p benar dan q salah, dalam hal lainnya p → q benar.
4. Biimplikasi:
p ↔ q bernilai benar jika p dan q bernilai sama, dalam hal lainnya p ↔ q salah.
5. Tautologi
adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar sedangkan,
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang
selalu bernilai salah.
DAFTAR PUSTAKA
Sembiring, suwah, dkk.. 2008. Matematika bilingual. Bandung: Yrama
Widya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar